数值分析第三章实验报告

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1. 实验目标

实现两种矩阵分解方法——高斯消元法和克劳特消元法。在程序中，实现了这两种消元方法来求解线性方程组。

2. 实验内容

使用两种不同的矩阵分解方法：

1. 高斯消元法：通过将矩阵化为上三角矩阵后，使用回代法求解线性方程组。

2. 克劳特消元法：将矩阵分解为上三角矩阵，后通过下式归一化，并通过回代法求解。

3. 实验过程

1. 程序结构

定义了矩阵打印函数、两种消元法的实现函数（gaussianSimplify 和 croutSimplify），求解上三角矩阵的函数 solve。主程序输入方程组的阶数和矩阵值，选择消元法进行求解。

2. 高斯消元法

高斯消元法的核心思想是将矩阵逐步化为上三角矩阵，通过行操作消去下三角区域的元素。实现时，程序首先将主对角线上方的元素逐行消为0，然后通过回代法逐步解出线性方程组的解。

3. 克劳特消元法

将矩阵分解为上三角矩阵，在高斯消元法基础上后通过l系数归一化，并通过回代法求解。

4. 求解过程

solve 函数基于上三角矩阵的回代求解过程，从最后一个方程向前解出所有变量。

4. 输入

1. 方程组的阶数 N。
2. 增广矩阵的系数，每行系数以空格分隔。
3. 选择消元法：
   • 1：高斯消元法
   • 2：克劳特消元法

5. 输出

1. 初始矩阵。
2. 上三角化简后矩阵 U 和下三角系数矩阵 L。
3. 线性方程组的解。

图：求解 __X __= 的解（过程是动态的，注意看）

6. 实验分析

1. __高斯消元法__：通过行消元，逐步将矩阵化为上三角形式，再通过回代法求出方程的解。此方法实现简单，但在上三角矩阵求解过程中运算量较大。
2. __克劳特消元法__：通过分解矩阵为下三角和上三角两个矩阵，再结合回代法求解。该方法相对高斯消元法具有更多的数值稳定性，但实现稍微复杂一些。
3. __0输入的问题__：这类方法最大缺陷是在对角线元素存在0时会出现

• 的情况，导致无法进行消元。

7. 实验结论

通过实验，成功实现了高斯消元法和克劳特消元法的编程实现，并通过输入不同的矩阵对这两种方法进行了求解验证。但实际情况下，主元素法和全主元法等改进算法可以避免0元素带来的问题，提高算法的稳定性。