数值分析第二章实验报告

第二章实验报告

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1. 实验目标

建立一个图形化界面，用四大迭代方法求解方程的根。尝试用规范的格式输出迭代过程，并且绘制每次迭代的图像，尝试设计交互式图像，从而直观地的了解迭代的过程，比较各方法的收敛速度。

2. 实验内容

1.实现二分法、牛顿切线法和割线法来求解给定函数的根，埃特肯法输入f(x)=x的格式求解。

2.基于python flask库建立后端，负责计算迭代过程，同时还按照每种方法特性展示解的逼近过程。

3.在前端展示迭代过程（规范化的格式）、逼近过程图像、以及基于chart.js的交互式图表，可以观察每一次逼近的动态过程。

4.对于边界处理问题：埃特肯法的化简方法技巧性较强，暂未想到好的算法来化简，于是设置为用户输入；牛顿法和割线法的发散问题可以转化为迭代一定次数（max-iter）后仍然无法收敛的问题，从而提示函数不收敛。

5.输入同一个式子，用不同的方法，比较收敛速度。

6.埃特肯法同一个方程，输入不同的化简式，比较收敛速度。

3. 实验过程

1.在分析问题以后，我选择了python作为使用的语言，原因如下：

以前知道python有eval函数能直接计算表达式的值，了解python对于函数输入的处理比较方便。

我想直观地了解迭代的过程，想画一些交互式的图来加深我对迭代的理解，这就需要一个强大的绘图模块与图形化交互界面，因此选择了python的matplotlib以及考虑了html里可以导入的chart.js库来分别画静态的和动态的图。

2.四个方法具体实现：

二分法：从给定的区间开始，每次将区间二分，选择使函数值变号的子区间继续迭代。

牛顿法：使用导数信息，通过迭代公式逼近根的值。

割线法：不需要计算导数，通过两个初始点的函数值线性逼近根。

埃特肯法：根据推导所得的公式进行迭代

3.输入函数的处理：

在读入函数时，一大挑战是将输入的字符串函数转化为python可运算的表达式对象。这里选择使用python的lambda函数提取x，再用eval函数计算。

4.求解过程：

每种方法按照相应算法，目标是x的变化值小于误差，同时计算迭代次数，如果迭代次数大于100则停止。

特别值得一提的是：牛顿法的切线微分采用了近似切线的计算方法，即在函数上取两个靠近的点进行斜率计算。

每次迭代保存近似解，在前端格式化输出步骤。

图：求解的解（左：二分法，右：埃特肯法）

5.图形化展示：

在静态图像的绘制上选择了matplotlib库，动态图选用了chart.js库：

二分法：绘制了各区间的左右端点和中点，直观显示左右端点的变动。另外，动态图中可以显示各个点的分布，可以缩放图的大小进行观察。

牛顿法：绘制了每次迭代的切线与x轴的交点，对应绘制下一条切线。其中，动态图加入了每次迭代绘制切线的过程。

割线法：绘制了每次迭代迭代的割线，产生下一条割线。动态图也加入了绘制割线的过程。

埃特肯法：按照课本格式绘制了两次迭代+一条割线的回形图，动态图加入了每次迭代绘制回形线的过程。

4. 输入

1.函数表达式：如：

2.初始区间或是初始值，如（二分法），或（牛顿法，埃特肯法），或，（割线法）

3.精度要求

5. 输出

1.迭代过程的中间结果：近似值，误差

2.最终求得的近似根

3.迭代过程的图表

6. 实验分析

__① __不同形式下埃特肯法的效率比较

例：现在对于函数

求在附近的根，精度。

若按以下迭代公式：

因，迭代过程发散。现在用埃特肯法计算得收敛结果：

发现迭代次数为6次

接下来构造：

因，迭代过程收敛

收敛速度很快，只需要2次。

②不同方法比较收敛速度

例：现在对于函数

求在附近的根，精度。

二分法：

迭代16次

埃特肯法：

迭代4次

牛顿切线法：

迭代3次

割线法：

迭代3次

7. 实验结论

这次实验，我用可视化的形式做了很多测试，用动态图仔细研究了误差从大到小每次迭代的变化情况，给我以更深印象。

我发现：在埃特肯法中，交点处斜率大于1的函数形式在迭代时会出现 “回字形”结构，即每次迭代都是在真实根的上下波动，不利于收敛效率。

而交点处斜率小于1的函数形式在迭代时为阶梯式上升，从一侧逼近真实根，这样收敛效率较高。

综合上述实验分析中的两个实验，可以得出结论：对于同一个式子，二分法的效率是最低的，埃特肯法的效率因选定函数形式影响，而牛顿法鉴于微分运算复杂，虽然收敛效率高，但是运算精度难以保证，当我修改了运算过程中保留的位数，发现牛顿法受运算数精度影响较大，用牛顿下山法能缓解这个问题，然而数本身的精度会影响切线的斜率精度（尤其是与x轴交点处斜率较小的函数），从而减慢收敛速度。故割线法综合考虑最优。

在实际情况下，我们还要考虑运算的复杂度：比如二分法的单次迭代运算最为简单，牛顿法和割线法都比较复杂，埃特肯法能一次次复用之前的结果。

因此，我认为，在解题时，若能找到较好的，埃特肯法为较为理想的解题方法，如果很难找到，可以尝试割线法，如果函数的导数形式简单，可以选择牛顿切线法。而二分法不优先考虑。